вернуться в оглавление предыдущая глава предыдущий параграф следующий параграф следующая глава


2.2. Методы Ньютона-Котеса

2.2.1. Метод прямоугольников

Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке  подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину частичного отрезка . Тогда значение интеграла на частичном отрезке:

          (2.6)

Подставив это выражение в (2.4), получим составную формулу средних прямоугольников:

          (2.7)

Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.2.2(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.

Формулу (2.7) можно представить в ином виде:

 или           (2.8)

Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис.2.2(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников.


а) средние прямоугольники

б) левые прямоугольники

в) правые прямоугольники
Рис.2.2. Интегрирование методом прямоугольников

2.2.2. Метод трапеций

Если на частичном отрезке  подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:

          (2.9)

то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:

          (2.10)

Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования  примет вид:

          (2.11)

Графически метод трапеций представлен на рис.2.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10.

Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.

 
Рис.2.3. Интегрирование методом методом трапеций

2.2.3. Метод Симпсона

В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки , , , то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

          (2.12)

Проведя интегрирование, получим:

          (2.13)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке  формула Симпсона примет вид:

            (2.14)

Если разбить отрезок интегрирования  на четное количество 2N равных частей с шагом , то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке  и переписать выражения (2.12-2.14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:

            (2.15)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис.2.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.


Рис.2.4. Метод Симпсона

2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса

Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона. Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами Ньютона-Котеса.

В выражении  коэффициенты  правильнее называть весовыми коэффициентами. Величину , определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком.

Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:

          (2.16)

где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков, , , .

Из выражения (2.16) легко можно получить формулу прямоугольников для , формулу трапеций для , и формулу Симпсона для . Коэффициенты  могут быть заданы в табличной форме (таблица.2.1).

n
0 1 1          
1 2 1 1        
2 6 1 4 1      
3 8 1 3 3 1    
4 90 7 32 12 32 7  
5 288 19 75 50 50 75 19

Таблица 2.1. Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса