вернуться в оглавление предыдущая глава предыдущий параграф следующий параграф следующая глава


1. Методы численного дифференцирования функций

Вычисление производной численными методами имеет смысл либо, если аналитическое вычисление производной невозможно либо, если аналитическое выражение неизвестно, и функция задана набором точек.

1.1. Методы односторонней разности

Производная функции определяется выражением:

          (1.1)

Заменяя приращение dx на конечную величину Δx, называемую шагом дифференцирования, получаем выражение:

          (1.2)

Если дифференцируемая функция задана в виде непрерывной функции (рис.1.1), то для вычисления значения дифференциала необходимо получить значение функции  в точке  и в точке . После чего можно вычислить значение производной функции .


Рис.1.1.Непрерывная функция

Если функция задана выборкой, то есть набором значений функции в точках (рис.1.2), то выражение для численного дифференцирования (при условии, что x образуют возрастающую последовательность) можно переписать в виде:

          (1.3)

f1 x1
f2 x2
fi xi
fn xn

Рис.1.2. Дискретная функция

Как видно из этих выражений, значение производной в точке  оценивается по значению функции в этой и в следующей точке . Такой способ можно условно назвать правосторонней разностью. Нетрудно записать выражение для левосторонней разности:

          (1.4)

или

          (1.5)

1.2. Метод двусторонней разности

С точки зрения точности методы левосторонней и правосторонней разностей равнозначны. Более точное значение дает метод двусторонней разности (что особенно справедливо для гладких функций). Теорема Лагранжа говорит о том, что уравнение:

          (1.6)

(при условии, что  – замкнутый промежуток, на котором функция  дифференцируема) имеет по меньшей мере один корень . Значение этого корня, вообще говоря, зависит от вида функции . Если она квадратичная, то уравнение первой степени и его корень лежит в точности на середине отрезка , то есть:

          (1.7)

Если a имеет постоянное значение, а b стремится к a, то один из корней, как правило (за исключением случаев, когда вторая производная  равна нулю или не существует), стремится к середине отрезка, то есть  . Поэтому более точное приближение к искомому значению производной функции в точке  можно получить, воспользовавшись формулами двусторонней разности:

          (1.8)

или, для функций заданных в виде выборки:

          (1.9)

Наглядно сравнить одностороннюю и двустороннюю разности можно представив производную, как тангенс угла наклона касательной к функции в точке xi. На рисунке 1.3 точное значение производной обозначено как . В методе односторонней разности (рис.1.3, а) вместо касательной проводится прямая через точки xi и xi+1. Если в окрестностях точки xi функция не гладкая, то значение производной () будет существенно отличаться от точного. В то время как в методе двусторонней разности, проведя прямую через точки  xi-1 и xi+1 (рис.1.3, б), можно получить значение производной практически совпадающее с точным.


а) односторонняя разность

 
б) двусторонняя разность

Рис.1.3. Графическое представление производной

 

1.3. Частное дифференцирование функции многих переменных

Отдельно следует отметить случай численного определения частных дифференциалов функций многих переменных. В этом случае все аргументы функции становятся константами кроме аргумента, по которому проводится дифференцирование, а требуемый порядок производной получается путем последовательного вычисления производных, вплоть до требуемого порядка:

          (1.10)

1.4. Производные высоких порядков

При вычислении производных высоких порядков производная (n)-го порядка считается первой производной от (n-1)-го порядка. Так вторая производная функции является первой производной от первой производной:

 или           (1.11)

Тогда выражение для вычисления производной примет вид:

  (1.12)