вернуться в оглавление предыдущая глава предыдущий параграф следующий параграф следующая глава


Приложение Г. Свойства математических функций

Преобразование графиков функций

Линейным преобразованием функции  называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Рассмотрим типовые преобразования.

Симметричное отображение

График функции  получается симметричным отображением графика  относительно оси OY.

График функции получается симметричным отображением графика  относительно оси ОХ.


Рис.Г.1. Симметричное отображение функции относительно оси ОY


Рис.Г.2. Симметричное отображение функции относительно оси ОХ

Смещение

График функции  получается параллельным переносом графика функции  вправо вдоль оси OX на расстояние b, если , и в отрицательном направлении вдоль оси OX, если .



Рис.Г.3. Смещение функции вдоль оси ОХ

График функции  получается параллельным переносом графика функции  вверх вдоль оси OY на расстояние b, если , и вниз вдоль оси OY, если .



Рис.Г.4. Смещение функции вдоль оси ОY

Масштабирование

График функции , () получается сжатием графика  вдоль оси OX к оси OY в  раз.  График функции , () получается растяжением графика  вдоль оси OX к оси OY в  раз.



Рис.Г.5. Масштабирование функции вдоль оси ОХ

График функции , () получается растяжением графика  вдоль оси OY от оси OX в  раз. График функции , () получается сжатием графика  вдоль оси OY от оси OX в  раз.



Рис.Г.6. Масштабирование функции вдоль оси ОY

Отражение

График функции  получается из графика функции  симметричным отражением части графика функции , с отрицательным значением  относительно оси OY вправо.

График функции  получается симметричным отражением отрицательной части графика функции  относительно оси OX на верхнюю полуплоскость.


Рис.Г.5. Отражение функции относительно оси ОY


Рис.Г.6. Отражение функции относительно оси ОХ

Последовательность преобразований

Если в функции присутствует несколько преобразований, последовательность преобразований аргумента происходит в “обратном” порядке по сравнение с обычными арифметическими действиями, то есть вначале происходит смещение, а потом масштабирование. Преобразование функции происходит в “правильном” порядке, в соответствии с последовательностью арифметических действий. Перед преобразованием графика функция приводится к виду .

Рассмотрим пример. Пусть дана некоторая функция . Требуется построить график функции . В таблице Г.1 приводится последовательность действий для построения.

Таблица Г.1. Последовательность действий преобразования графика функции

  Действие над графиком График
1 Функция .
2 Выражение  приводим к виду    
3 Смещение графика влево на 2
4 Растяжение графика вдоль оси OX в 2 раза
5 Растяжение графика вдоль оси OY в 1.5 раза

Свойства дельта-функции

Дельта-функция, или функция Дирака определяется следующим образом:

          (Г.1)

При этом

          (Г.2)

То есть, эта функция не равна нулю только в точке , где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности  был равен 1. Функция стремится к бесконечности в точке , что на графике обычно отображается в виде стрелки единичной высоты (рис.Г.7).

 
Рис.Г.7. Дельта-функция

Дельта-функция обладает несколькими интересными свойствами.

Произведение некоторой произвольной функции  и смещенной на величину a дельта-функции , равно смещенной дельта-функции , умноженной на значение функции в точке :

          (Г.3)

 
Рис.Г.8. Произведение дельта-функции и произвольной функции

Интеграл произведения некоторой произвольной функции  и смещенной на величину a дельта-функции , равен значению функции в точке :

          (Г.4)

Свертка некоторой произвольной функции  и смещенной на величину a дельта-функции , равна самой функции, смещенной на величину :

          (Г.5)

Свертка

Свертка двух функций определяется как интеграл:

          (Г.6)

Геометрический смысл свертки – функция площади пересечения графиков двух функций, в каждой точке смещения одной из функций от  до + (рис.Г.9).


Рис.Г.9. Свертка

Свойства свертки:

          (Г.7)

(Г.8)

Свертка с некоторыми функциями:

          (Г.9)

          (Г.10)

Тригонометрические функции

Основные свойства тригонометрических функций, которые могут пригодиться при выполнении заданий.

Основное тригонометрическое тождество:

          (Г.11)

Свойства четности:

,           (Г.12)

Формулы двойного угла:

,           (Г.13)

Формула Эйлера:

          (Г.14)